Question

【题目】已知正项数列{an}的首项a1=1，且（n+1）a +anan+1﹣na =0对n∈N*都成立．
（1）求{an}的通项公式；、
（2）记bn=a2n﹣1a2n+1 ， 数列{bn}的前n项和为Tn ， 证明：Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：（n+1）a +anan+1﹣na =0对n∈N*都成立．

∴[（n+1）an+1﹣nan]（an+1+an）=0，∵an+1+an＞0，

∴（n+1）an+1﹣nan=0，即 = ．

∴an= … = … 1= ．

（2）解：证明：bn=a2n﹣1a2n+1= = ．

数列{bn}的前n项和为Tn= +…+

= ．

即Tn＜ ．

【解析】（1）利用分解因式可得（n+1）an+1﹣nan=0，再变形，利用累乘法可得{an}的通项公式；（2）利用裂项法可得数列{bn}的前n项和为Tn，进而可证Tn<．
【考点精析】利用数列的前n项和和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．