Question

【题目】函数f（x）=6cos2 sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．

（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x0）= ，且x0∈（﹣ ），求f（x0+1）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，f（x）=3cosωx+ sinωx=2 sin（ωx+ ），

又正三角形ABC的高为2 ，从而BC=4，

∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，

∴函数f（x）的值域为[﹣2 ，2 ]．

（2）解：∵f（x0）= ，由（Ⅰ）有f（x0）=2 sin（ x0+ ）= ，

即sin（ x0+ ）= ，由x0∈（﹣ ），知 x0+ ∈（﹣ ， ），

∴cos（ x0+ ）= = ．

∴f（x0+1）=2 sin（ x0+ + ）=2 sin[（ x0+ ）+ ]=2 [sin（ x0+ ）cos +cos（ x0+ ）sin ]

=2 （ × + × ）

= ．

【解析】（1）将f（x）化简为f（x）=2 sin（ωx+ ），利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f（x）的值域；（2）由x0∈（﹣ ），知 x0+ ∈（﹣ ， ），由 ，可求得即sin（ x0+ ）= ，利用两角和的正弦公式即可求得f（x0+1）．