Question

【题目】某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；
（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为 ，乙队猜对前两条的概率均为 ，猜对第3条的概率为 ．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得，
（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴测试成绩中位数为143.6．
进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，
则ξ～B（3， ），
∴E（ξ）= ．
∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[ ]×20=30，
∵P（η=0）= ，
P（η=1）= ，
P（η=2）= ，
P（η=3）= ，
∴Eη= ．
∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[ ]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投给甲队
【解析】（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图中x两侧的矩形的面积相等列式求得x值，则中位数可求，再由200×（0.003+0.0015）×20求得进入第二阶段的学生人数；（Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η，则ξ服从B（3， ）分布，由此求得Eξ，进一步求得最后抢答阶段甲队得分的期望，然后求出Eη，再求出最后抢答阶段乙队得分的期望，比较期望后得答案．