Question

【题目】已知函数f（x）= （m，n∈R）在x=1处取得极值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）k为何值时，方程f（x）﹣k=0只有1个根
（3）设函数g（x）=x2﹣2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为函数f（1）= ．

所以m=2+2n，f（x）= ，

又f（x）在x=1处取得极值，

f = ，

f ，n=1，则m=4，

经检验满足题意，

所以 ；

（2）解：由f（x）﹣k=0，得k=f（x），

由（1）得f ，

令f′（x）=0，得x=±1．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣1）	﹣1	（﹣1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

所以f（x）在x=﹣1处取得极小值﹣2，在x=1处取得极大值2

又 如图

所以k=±2或0时，方程有一个根

（3）解：对于任意x1∈R，总存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），

只需g（x2）min≤f（x1）min，

即当x∈[﹣1，0]时，x2﹣2ax+a≤﹣2恒成立

只需 ，

解得a≤﹣2

a的取值范围为a≤﹣2

【解析】（1）函数f（1）= ．所以m=2+2n，f（x）= ，又f（x）在x=1处取得极值，f ，n=1，则m=4（2）由f（x）﹣k=0，得k=f（x），由（1）得f ，令f′（x）=0，得x=±1．求出单调区间，根据图象即可求解．（3）对于任意x1∈R，总存在x2∈[﹣1，0]，使得g（x2）≤f（x1），只需g（x2）min≤f（x1）min，即当x∈[﹣1，0]时，x2﹣2ax+a≤﹣2恒成立，只需 ，解得a．
【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能正确解答此题．