Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）=0.5x2﹣bx，（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与函数g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）若函数h（x）=f（x）+g（x）在定义域上不单调，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=lnx，所以 ，因此f′（1）=1，

所以函数f（x）的图象在点（1，0）处的切线方程为y=x﹣1，

由 得x2﹣2（b+1）x+2=0．

由△=4（b+1）2﹣8=0，得

（2）解：因为h（x）=f（x）+g（x）=lnx+0.5x2﹣bx（x＞0），

所以 ，

若函数在定义域内不单调，则

可知h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，

因为x＞0，设u（x）=x2﹣bx+1，因为u（0）=1＞0，

则只要 解得b＞2，

所以b的取值范围是（2，+∞）

【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线的方程，联立二次函数，由判别式为0，解方程即可得到b的值；（2）求出h（x）的导数，可得h'（x）＜0在（0，+∞）上有解，由二次函数的性质，可得b的不等式，即可得到b的范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．