Question

【题目】已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点．

（1）求线段的中点的轨迹的方程；

（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

试题分析：（1）利用垂径定理得到，取的中点N，则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧

则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．写出圆方程，进一步求得x的取值范围，（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆的切线，切点为Q，判断切点在圆弧上，又 ，所以．

试题解析：（1）取AB的中点M，连接．根据垂径定理有即．取的中点N

则点M的轨迹是以N为圆心，为半径的圆在圆内部的圆弧．其所在圆的方程为，联立解得 所以C:

（2）直线L:y=k（x-4）经过定点R（4，0）过点R作圆的切线，切点为Q，下面判断切点的横坐标是否在内，作出圆 ，C为的圆心，P为（2）中圆弧上端点，P作，则由相似三角形得， 而所以切点Q在（2）求得的圆弧上，又 ，所以．