Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．

（1）证明：MN∥平面PAD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求三棱锥C﹣BDN的体积V．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵M，N是PB，PC的中点，

∴MN∥BC，又BC∥AD，

∴MN∥AD，又MN平面PAD，AD平面PAD，

∴MN∥平面PAD

（2）证明：连接BD，则BD=2 ，

∵PD⊥底面ABCD，

∴∠PBD为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBD=45°，

∴PD=BD=2 ，

∵N为PC的中点，

∴N到平面ABCD的距离h= PD= ，

∴VC﹣BDN=VN﹣BCD= = = ．

【解析】（1）由MN∥BC∥AD即可得出MN∥AD，从而得出结论；（2）连接BD，由PD=BD=2 得出N到平面ABCD的距离为h= ，则VC﹣BDN=VN﹣BCD= ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．