Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），若对任意实数x，不等式2x≤f（x） （x+1）2恒成立．
（1）求f（1）的值；
（2）求a的取值范围；
（3）若函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|，x∈[﹣2，2]的最小值为﹣1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=1，由2x≤f（x） （x+1）2可得，

2≤f（1）≤2，∴f（1）=2

（2）解：由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c），

∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立，

∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立，

∴ ，即 ．

可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，

则f（x）=ax2+bx+a，

f（x） （x+1）2恒成立，即为（a﹣ ）x2+（b﹣1）x+（a﹣ ）≤0，

可得a﹣ ＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣ ）2≤0，

由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立；

综上可得a的范围是（0， ）

（3）解：函数g（x）=f（x）+2a|x﹣1|=ax2+（2﹣2a）x+a+2a|x﹣1|（0＜a＜ ），

当1≤x≤2时，g（x）=ax2+2x﹣a在[1，2]递增，可得x=1时，取得最小值2；

当﹣2≤x＜1时，g（x）=ax2+（2﹣4a）x+3a，对称轴为x= ，

当 ≤﹣2，即为0＜a≤ 时，[﹣2，1）递增，

可得x=﹣2取得最小值，且为4a﹣4+8a+3a=﹣1，解得a= ；

当 ＞﹣2，即 ＜a＜ 时，

x= ，取得最小值，且为 =﹣1，

解得a= （ ， ）．

综上可得，a=

【解析】（1）在给出不等式中，令x=1，根据这个条件可求出f（1）的值；（2）联立f（1）=2，即可求出a+c与b的关系式．由f（x）﹣2x≥0恒成立，即：ax2+（b﹣1）x+c≥0对于一切实数x恒成立，只有当a＞0，且△=（b﹣2）2﹣4ac≤0时，求得a=c＞0，再由f（x） （x+1）2恒成立，可得二次项系数小于0，判别式小于等于0，解不等式即可得到a的范围；（3）讨论当1≤x≤2时，当﹣2≤x＜1时，去掉绝对值，运用二次函数的对称轴和区间的关系，求得最小值，解方程可得a的值．