Question

【题目】设函数．

（I）若，求函数的单调区间．

（II）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

（III）过坐标原点作曲线的切线，求切线的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）减区间为，增区间为．（2）（3）1

【解析】试题分析：（1）求出，由可得函数的减区间，由可得函数的增区间；（2）转化成对任意恒成立求解，即对任意恒成立，求出的最小值即可；（3）设出切点，结合导数的几何意义求出过切点的切线方程，利用切线过原点可求得切点坐标。

试题解析：（I）时， ，

∴．

∵当， ， 为单调减函数．

当， ， 为单调增函数．

∴的单调减区间为，单调增区间为．

（II）∵， 在区间上是减函数，

∴对任意恒成立．

即对任意恒成立．

令， ．

易知在上单调递减，∴．

∴．

（III）设切点为，

由题意得，

∴,

∴曲线在点切线方程为，

即．

又切线过原点，

∴，

整理得，

设，

则恒成立， 在上单调递增，

又，

∴在上只有一个零点，即，

∴切点的横坐标为．