Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（Ⅰ）若a=﹣1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y=0平行，求a的值；
（Ⅲ）若x＞0，证明： （其中e=2.71828…是自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）= ，
∴函数的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）= ，
设g（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），
∴g′（x）=1﹣[ln（x+1）+1]=﹣ln（x+1），
∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0，
∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（Ⅱ）∵f′（x）= ，
∴k=f′（1）= ，
∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣y=0平行
∴ =1，
即ln（1﹣a）= ，分别画出y=ln（1﹣x）与y= 的图象，
又图象可知交点为（0，0）
∴解得a=0．
（Ⅲ）：∵ = = ，
∴ = ，
由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，f（x）= 在（0，+∞）上为减函数，
故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜ex﹣1，
令h（x）=ex﹣1﹣x，
则h′（x）=ex﹣1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴h（x）＞h（0）=0，即x＜ex﹣1，
∴f（x）＞f（ex﹣1）
即 ．

【解析】（Ⅰ） 先求导，得到f′（x）= ，再构造函数g（x）=x﹣（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值为0，继而得到f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，问题得以证明；（Ⅱ）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得；（Ⅲ） = ，由（Ⅰ）的结论，故要证原不等式成立，只需要证明：当x＞0时，x＜ex﹣1，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可证明．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．