Question

【题目】设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2 ， 且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（ ）
A.[1，+∞）
B.（﹣∞，1]
C.（﹣∞，2]
D.[2，+∞）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2 ， ∴f（x）﹣ x2 +f（﹣x）﹣ x2 =0，
令g（x）=f（x）﹣ x2 ， ∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣ x2+f（x）﹣ x2=0，
∴函数g（x）为奇函数．
∵x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，
故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函数．
f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，等价于f（2﹣a）﹣ ≥f（a）﹣ ，
即g（2﹣a）≥g（a），∴2﹣a≥a，解得a≤1，
故选：B．
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则，需要了解若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导才能得出正确答案．