Question

【题目】已知a为正实数，n为自然数，抛物线 与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求对所有n都有 成立的a的最小值；
（3）当0＜a＜1时，比较 与 的大小，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线 与x轴正半轴相交于点A，∴A（ ）

对 求导得y′=﹣2x

∴抛物线在点A处的切线方程为 ，∴

∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=an；

（2）解：由（1）知f（n）=an，则 成立的充要条件是an≥2n3+1

即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

当a= ，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+ =1+2n3+ ＞2n3+1

当n=0，1，2时，

∴a= 时，对所有n都有 成立

∴a的最小值为 ；

（3）解：由（1）知f（k）=ak，下面证明：

首先证明：当0＜x＜1时，

设函数g（x）= x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，则g′（x）= x（x﹣ ）

当0＜x＜ 时，g′（x）＜0；当 时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（ ）=0

∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴

由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此 ，

从而 = ≥ = ＞ =

【解析】（1）根据抛物线 与x轴正半轴相交于点A，可得A（ ），进一步可求抛物线在点A处的切线方程，从而可得f（n）；（2）由（1）知f（n）=an ， 则 成立的充要条件是an≥2n3+1，即知，an≥2n3+1对所有n成立，当a= ，n≥3时，an＞4n=（1+3）n＞2n3+1，当n=0，1，2时， ，由此可得a的最小值；（3）由（1）知f（k）=ak ， 证明当0＜x＜1时， ，即可证明：