Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.

（1）求二面角的余弦值；

（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系：则，，，，所以，，．设平面的法向量为，由，，得且．取，得，，

所以是平面的一个法向量．因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．设二面角的大小为，所以，（2）由（1）知，则，．设（），则，

所以．易知平面，所以是平面的一个法向量．设与平面所成的角为，所以， 即

试题解析：

（1）以D为坐标原点，建立如图所示空间

直角坐标系，

则，，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

由，，得且．

取，得，，

所以是平面的一个法向量．

因为平面ABC，取平面ABC的一个法向量．

设二面角的大小为，所以，

由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．

（2）由（1）知，则，．

设（），则，

所以．

易知平面，所以是平面的一个法向量．

设与平面所成的角为，

所以， 即，得或（舍）．所以，，所以线段的长为．