【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若对，都有成立，求的取值范围；

（3）当时，求在上的最大值.

参考答案：

【答案】（1）（2） (3)

【解析】试题分析：（1）将a=1代入求出函数的表达式，通过求导令导函数大于0，从而求出函数的单调递增区间；（2）问题转化为对1≤x≤e恒成立．记h（x）=，通过求导得到h（x）的单调性，从而求出a的范围；（3）先求出函数的导数，通过讨论当0＜x＜ln2k时，当ln2k＜x＜k时的情况，从而得到函数f（x）的最大值．

试题解析：

⑴时， ， ，令，得 ，解得．

所以函数的单调增区间为．

⑵由题意 对恒成立，因为时， ， 所以对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，

所以，因此．

⑶ 因为，由，得或（舍）．

可证对任意恒成立，所以，

因为，所以，由于等号不能同时成立，所以，于是．

当时， ， 在上是单调减函数；

当时， ， 在上是单调增函数．

所以，

记， ，以下证明当时， ．

，记， 对恒成立，

所以在上单调减函数， ， ，所以，使，

当时， ， 在上是单调增函数；当时， ， 在上是单调减函数．又，所以对恒成立，

即对恒成立，所以．

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