Question

【题目】已知函数f（x）=asinxcos2x+1（a，b∈R）．

（1）当a=1，且 时，求f（x）的值域；

（2）若存在实数 使得成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）根据三角函数的诱导公式得到f（x）=2+sinx，再由二次函数解析式，讨论轴和区间的关系得到最值；（2）存在实数x使得函数|f（x）|≥a2成立，∴存在t∈[﹣1，1]使得函数|2t2+at|≥a2成立，即存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立.

详解：

（1）当a=1时，f（x）=sinx﹣cos2x+1=sinx﹣（1﹣2sin2x）+1=2sin2x+sinx

=2﹣；

时，sinx∈[﹣1，1]，

∴sinx=﹣时，f（x）取得最小值﹣，sinx=1时，f（x）取得最大值3，

∴f（x）的值域为[﹣，3]；

（2）f（x）=asinx﹣cos2x+1=asinx+2sin2x=2sin2x+asinx，

设t=sinx，则t∈[﹣1，1]，代入原函数得y=2t2+at，

∵存在实数x使得函数|f（x）|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得函数|2t2+at|≥a2成立，

∴存在t∈[﹣1，1]使得2t2+at﹣a2≥0或2t2+at+a2≤0成立，

①当a=0时，2t2≥0或2t2≤0成立，

②当a≠0时，由于2t2+at+a2≤0的△=﹣7a2＜0，不等式无解，

由2t2+at﹣a2≥0得（2t﹣a）（t+a）≥0，

当a＞0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，﹣a]∪[，+∞），

由题意可得，≤1或﹣a≥﹣1，解得0＜a≤2，

当a＜0时，2t2+at﹣a2≥0的解集是（﹣∞，]∪[﹣a，+∞），

由题意可得，﹣a≤1或≥﹣1，解得﹣2≤a＜0，

综上，实数a的取值范围是[﹣2，2]．