Question

【题目】已知圆C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0（m∈R），圆C2：x2+y2=1．

（1）过定点M（1，-2）作圆C2的切线，求切线的方程；

（2）若圆C1与圆C2相交，求m的取值范围；

（3）已知点P（2，0），圆C1上一点A，圆C2上一点B，求||的最小值的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x=1或3x+4y+5=0；（2）＜m＜；（3）[，+∞）

【解析】

（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x＝1；当切线斜率存在时，设切线方程为y+2＝k（x﹣1），由圆心到直线的距离等于半径求得k，则切线方程可求；

（2）由圆C1求得C1（m，2m），r1＝2，再求得C2（0，0），r2＝1，由圆C1与圆C2相交，得r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，由此可得实数m的范围；

（3）由题意（﹣2，0）+（m﹣2，2m），求得与共线时的范围为[1，3]，而，其最小值为，由此可得当向量与共线同向且与反向时，||的最小值最小，答案可求．

（1）当切线斜率不存在时，切线方程为x=1；

当切线斜率存在时，设切线方程为y+2=k（x-1），即kx-y-k-2=0．

由，解得k=-，此时切线方程为3x+4y+5=0．

∴切线方程为x=1或3x+4y+5=0；

（2）由圆C1：x2+y2-2mx-4my+5m2-4=0，得（x-m）2+（y-2m）2=4，

则C1（m，2m），r1=2，C2（0，0），r2=1．

由圆C1与圆C2相交，得r1-r2＜|C1C2|＜r1+r2，

∴1，即＜m＜；

（3）如图，O（0，0），C1（m，2m），P（2，0），

则==（-2，0）+（m-2，2m）+

=（m-4，2m）+，

∵与共线，∴的范围为[1，3]，

而=，

其最小值为，

∴当向量与共线同向且与反向时，||的最小值最小，为，

∴||的最小值的取值范围是[，+∞）．