Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：双曲线C1： 左顶点A（﹣ ），

渐近线方程为：y=± x．

过A与渐近线y= x平行的直线方程为y= （x+ ），即y= ，

所以 ，解得 ．

所以所求三角形的面积为S= ．

（2）解：设直线PQ的方程为y=kx+b，

因直线PQ与已知圆相切，故 ，

即b2=2，由 ，

得x2﹣2bx﹣b2﹣1=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则 ，

又y1y2=（x1+b）（x2+b）．

所以 =x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2

=2（﹣1﹣b2）+2b2+b2

=b2﹣2=0．

故PO⊥OQ．

（3）解：当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|= ，则O到直线MN的距离为 ．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），

则直线OM的方程为y= ，由

得 ，

所以 ．

同理 ，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以 = =3，

即d= ．

综上，O到直线MN的距离是定值．

【解析】（1）求出双曲线的渐近线方程，求出直线与另一条渐近线的交点，然后求出三角形的面积．（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解 =0．证明PO⊥OQ．（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为 ．当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞ ），推出直线OM的方程为y= ，利用 ，求出 ， ，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2 ， 求出d= ．推出O到直线MN的距离是定值．