Question

【题目】对于数集X={﹣1，x1 ， x2 ， …，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn ， n≥2，定义向量集Y={ =（s，t），s∈X，t∈X}，若对任意 ，存在 ，使得 ，则称X具有性质P．例如{﹣1，1，2}具有性质P．
（1）若x＞2，且{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值；
（2）若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1=1；
（3）若X具有性质P，且x1=1、x2=q（q为常数），求有穷数列x1 ， x2 ， …，xn的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：选取 =（x，2），则Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，

又∵x＞2，∴只有b=2，从而x=4．

（2）解：取 =（x1，x1）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得（s+t）x1=0，s+t=0，所以s、t异号．

因为﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，所以1∈X，

假设xk=1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn．

再取 =（x1，xn）∈Y，设 =（s，t）∈Y，满足 ，可得sx1+txn=0，

所以s、t异号，其中一个为﹣1

①若s=﹣1，则x1=txn＞t≥x1，矛盾；

②若t=﹣1，则xn=sx1＜s≤xn，矛盾；

说明假设不成立，由此可得当xn＞1时，x1=1．

（3）解：[解法一]猜想：xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

记Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}，k=2，3，…，n

先证明若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．

任取 =（s，t），s、t∈Ak，当s、t中出现﹣1时，显然有 满足

当s、t中都不是﹣1时，满足s≥1且t≥1．

因为Ak+1具有性质P，所以有 =（s1，t1），s1、t1∈Ak+1，使得 ，从而s1、t1其中有一个为﹣1

不妨设s1=﹣1，

假设t1∈Ak+1，且t1Ak，则t1=xk+1．由（s，t）（﹣1，xk+1）=0，得s=txk+1≥xk+1，与s∈Ak矛盾．

所以t1∈Ak，从而Ak也具有性质P．

再用数学归纳法，证明xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

当n=2时，结论显然成立；

假设当n=k时，Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，则xi=qi﹣1，i=1，2，…，k

当n=k+1时，若Ak+1═{﹣1，x1，x2，…，xk+1}具有性质P，则Ak═{﹣1，x1，x2，…，xk}具有性质P，

所以Ak+1═{﹣1，q，q2，…，qk﹣1，xk+1}．

取 =（xk+1，q），并设 =（s，t）∈Y，满足 ，由此可得s=﹣1或t=﹣1

若t=﹣1，则xk+1= ，不可能

所以s=﹣1，xk+1=qt=qj≤qk且xk+1＞qk﹣1，因此xk+1=qk综上所述，xi=qi﹣1，i=1，2，3，…，n

[解法二]设 =（s1，t1）， =（s2，t2），则 等价于

记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称

注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2，﹣x3，﹣x4，…，﹣xn}，共有n﹣1个数．

所以B∩（0，+∞）也有n﹣1个数．

由于 ＜ ＜ ＜…＜ ，已经有n﹣1个数

对以下三角形数阵： ＜ ＜ ＜…＜ ，

＜ ＜ ＜…＜

注意到 ＞ ＞ ＞…＞ ，所以 = =…=

从而数列的通项公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1，k=1，2，3，…，n．

【解析】（1）在Y中取 =（x，2），根据数量积的坐标公式，可得Y中与 垂直的元素必有形式（﹣1，b），所以x=2b，结合x＞2，可得x的值．（2）取 =（x1 ， x1）， =（s，t）根据 ，化简可得s+t=0，所以s、t异号．而﹣1是数集X中唯一的负数，所以s、t中的负数必为﹣1，另一个数是1，从而证出1∈X，最后通过反证法，可以证明出当xn＞1时，x1=1．（3）[解法一]先猜想结论：xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n．记Ak═{﹣1，x1 ， x2 ， …，xk}，k=2，3，…，n，通过反证法证明出引理：若Ak+1具有性质P，则Ak也具有性质P．最后用数学归纳法，可证明出xi=qi﹣1 ， i=1，2，3，…，n；
[解法二]设 =（s1 ， t1）， =（s2 ， t2），则 等价于 ，得到一正一负的特征，再记B={ |s∈X，t∈X且|s|＞|t|}，则可得结论：数集X具有性质P，当且仅当数集B关于原点对称．又注意到﹣1是集合X中唯一的负数，B∩（﹣∞，0）={﹣x2 ， ﹣x3 ， ﹣x4 ， …，﹣xn}，共有n﹣1个数，所以B∩（0．+∞）也有n﹣1个数．最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得 = =…= ，最终得到数列的通项公式是xk=x1（ ）k﹣1=qk﹣1 ， k=1，2，3，…，n．
【考点精析】利用元素与集合关系的判断对题目进行判断即可得到答案，需要熟知对象与集合的关系是，或者，两者必居其一．