Question

【题目】已知圆经过点， ，并且直线平分圆.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆交于两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 不存在直线.

【解析】试题分析: (1)由弦的中垂线必过圆心,所以求出线段的中垂线,与3x-2y=0的交点即为圆心,由两点间距离公式求圆的半径.(2) 设，由向量的数量积坐标表示可知,直线与圆组方程组,利用韦达代入上式,可求得k,同时检验判别式.

试题解析:（1）线段的中点，，

故线段的中垂线方程为，即.

因为圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.

又因为直线：平分圆，所以直线经过圆心.

由 解得，即圆心的坐标为，

而圆的半径，

所以圆的方程为：

（2）设，

将代入方程，得，

即 ，

由，得，

所以，.

又因为

所以

，解得或

此时式中，没有实根，与直线与交于两点相矛盾，

所以不存在直线，使得.