【题目】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆相交于两点且.求证： 的面积为定值.

参考答案：

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，圆心到直线的距离为等于及联立方程组可求解，从而求得椭圆方程；（2）把直线的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆的两交点横坐标的和与积，代入直线方程得到纵坐标的积，结合得到斜率和的关系，利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，把三角形的面积表示为关于的代数式，整理后得到结果为定值．

试题解析：解：（1）由题意知，∴，即

又，

∴，椭圆的方程为

（2）设，由得，

， ．

， ，， ， ，8分

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