Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当时，若函数在区间上的最小值是，求的值；

（3）设，是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为.证明：.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】分析：（1）由条件可得，要求函数的单调区间，函数的定义域为。求导得 。当时，。可得函数在上递增。（2）由函数在区间上的最小值是，可根据函数的单调性求函数的最小值，根据最小值等于，得到关于的关系式，即可求。由（1）知。因为，解不等式，，进而可得函数在上递减，在上递增，进而可得，所以，进而解得 。满足。（3）要证明，应先把和表示出来。由两点连线的斜率公式可得直线的斜率为，由线段的中点为，可得 。根据导函数可得。所以要证，即证。以下利用分析法可证。不妨设，即证，即证 。把看成整体。设，即证，移项即证，其中。构造函数。证明函数的最小值大于0即可，求导数判断函数的单调性，进而求函数的最小值。

详解：(1)函数的定义域为，，

因为 ，所以，

故函数在上递增。

（2）由（1）知

因为 ，

所以由，可得；

由，可得。

所以函数在上递减，在上递增，

所以。

所以，

解得，符合题意。

（3）证明：由已知可得

又，所以。

要证，即证。

不妨设，即证，即证。

设，即证，

即证，其中。

设，

则

所以在上单调递增，

因此 得证.