Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），

∴1=2p，

解得p= ，

∴y2=x，

∴焦点坐标为（ ，0），准线为x=﹣ ，

（2）

（2）证明：设过点（0， ）的直线方程为

y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，

由题意知A（x1，x1），B（x1， ），

由 ，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，

∴x1+x2= ，x1x2=

∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =

∴A为线段BM的中点．

【解析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；
（2.）设过点（0， ）的直线方程为y=kx+ ，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．