Question

【题目】已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．

又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．

于是x＜0时f（x）=x2+2x．

所以f（x）= ．

（2）解：作出函数f（x）= 的图象如图：

则由图象可知函数的单调递增区间为[﹣1，1]

要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上单调递增，

结合f（x）的图象知 ，

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是（1，3]．

【解析】（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；（2）根据函数奇偶性和单调性的关系，利用数形结合即可求出a的取值范围．