Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,a4=2且,数列满足 ,

(1)证明：数列{an}为等差数列；

(2)是否存在正整数，(1<)，使得成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

(2) 存在符合.

【解析】分析：（1）2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)，2Sn= nan－n，两式做查得到an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}是等差数列；（2），成等比数列，即，代入表达式可得，分析得到结果.

详解：

(1) 由已知得2Sn= nan－n① ,

故当n=1时，2S1=a1－1，即a1＝－1，

又2Sn＋1=( n＋1)an＋1－(n＋1)②，

②－①得2Sn＋1－2Sn=(n＋1)an＋1－nan－1，

即(n－1)an＋1－nan－1=0 ③，

又nan＋2－(n＋1)an＋1－1=0④

④－③得，nan＋2－2nan＋1＋nan=0，

即an＋2＋an=2an＋1，所以数列{an}是等差数列.

(2)因为a1＝－1，a4=2，所以公差为1

an＝－1＋(n－1)×1=n－2，所以

假设正整数，(1<)，使得成等比数列，即，

可得，

又

当时,关于递减,(同理当时,关于递减)

当时,符合,此时,易得,不满足

当时, 符合,此时,此时

当时, ,不符合

综上: 存在符合.