Question

【题目】已知函数 ．
（1）求f（x）的极值；
（2）当0＜x＜e时，求证：f（e+x）＞f（e﹣x）；
（3）设函数f（x）图象与直线y=m的两交点分别为A（x1 ， f（x1）、B（x2 ， f（x2）），中点横坐标为x0 ， 证明：f'（x0）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，f（x）的定义域是（0，+∞），

x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；

x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．

当x=e时，f（x）取极大值为 ，无极小值

（2）解：要证f（e+x）＞f（e﹣x），即证： ，

只需证明：（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x）．

设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），

，

∴F（x）＞F（0）=0，

故（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），

即f（e+x）＞f（e﹣x）

（3）解：证明：不妨设x1＜x2，由（1）知0＜x1＜e＜x2，∴0＜e﹣x1＜e，

由（2）得f[e+（e﹣x1）]＞f[e﹣（e﹣x1）]=f（x1）=f（x2），

又2e﹣x1＞e，x2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，

∴2e﹣x1＜x2，即x1+x2＞2e，

∴ ，∴f'（x0）＜0

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值即可；（2）问题转化为证明（e﹣x）ln（e+x）＞（e+x）ln（e﹣x），设F（x）=（e﹣x）ln（e+x）﹣（e+x）ln（e﹣x），根据函数的单调性证明即可．