Question

【题目】设函数．

（1）若，讨论的单调性；

（2）若在上有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）求导得，故根据的符号可判断函数的单调性．（2）结合（1）中的函数的单调性求解，当时在单调递增，在单调递减，且，故要有两个零点，则需，解不等式可得结果；当时，可得单调递增，而，所以在上有一个零点0，不合题意．由此可得所求范围为．

详解：（ 1）∵，

∴．

令，则．

∴有两不等实根，．

且当或时，单调递减；

当时，单调递增．

∴在单调递减，在单调递增，在单调递减．

（2）解法1：

①当时，由（1）知在单调递增，在单调递减．

∵在上有两个零点，且，

∴，解得．

②当时，若，则，在单调递增，而，所以因为在上有一个零点0．

综上得当在上有两个零点时，实数的取值范围为．

解法2：

①当时，若，则，在单调递增，

又，

∴在上有一个零点0．

②当时，由（1）得，．

（ⅰ）若，则，在单调递增．

又，

∴在上只有一个零点．

（ⅱ）若，则，在上单调递增，在上单调递减．

∵，

∴若在上有两个零点，则，解得．

综上得当在上有两个零点时，实数的取值范围为．