Question

【题目】如图，在四面体中，，．

（1）证明：；

（2）若，，四面体的体积为2，证明：平面平面．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】分析：方法1：（1）作Rt△斜边上的高，连，可得Rt△≌ Rt△，于是，由此可得平面，于是．（2）由题意得，

然后根据平面，四面体的体积可得，于是得到

，故，所以得平面，由面面垂直的判定定理可得结论．

方法2：（1）由三角形全等可得．取的中点，连，，则有平面，从而可得．（2）由题意得△面积为，根据可得点到平面距离．然后在平面内过作于，求得．

故得平面，可证得平面平面．

详解：（1）解法1：如图，作Rt△斜边上的高，连．

∵，，

∴Rt△≌ Rt△．

于是可得．

又，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）在Rt△中，，，

∴，， ，

△的面积．

又平面，四面体的体积，

∴，

∴，，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

解法2：

（1）∵，，

∴Rt△≌Rt△．

∴．

取的中点，连，，则，，

又

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）在Rt△中，，，

∴△面积为．

设到平面距离为，

则，

∴．

在平面内过作，垂足为，

∵，，

∴．

由点到平面距离定义知平面，

∵平面，

∴平面平面．