Question

【题目】已知函数 若f（x1）=f（x2），且x1＜x2，关于下列命题：（1）f（x1）＞f（﹣x2）；（2）f（x2）＞f（﹣x1）；（3）f（x1）＞f（﹣x1）；（4）f（x2）＞f（﹣x2）．正确的个数为（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】B

【解析】函数f（x）的定义域为R．

f′（x） ,

当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0．

∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．

由f（x1）=f（x2），且x1＜x2，可知x1＜0，x2＞0，

当x＜1时，由于＞0，ex＞0，得到f（x）＞0；同理，当x＞1时，f（x）＜0．

由上可知：x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，1）．

下面证明：x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x），

即证＜．

此不等式等价于 ．

令g（x）=，则g′（x）=﹣xe﹣x（e2x﹣1）．

当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

∴g（x）＜g（0）=0．

即．

∴x∈（0，1），f（x）＜f（﹣x）．

由x1∈（﹣∞，0），可知f（x1）＜f（﹣x2），故（1）错误；

f（x1）＞f（﹣x1），故（3）正确；

由x2∈（0，1），可知f（x2）＞f（﹣x1），故（2）正确；

f（x2）＜f（﹣x2），故（4）错误．

∴正确命题的个数是2个．

故选：B．