Question

【题目】已知函数， ，其中为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性.

（Ⅱ）是否存在实数，使对任意恒成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）求出导函数，求出的解，在定义域内的各区间可得的正负，即得的单调区间；

（Ⅱ）观察函数得，因此有，这样不等式可化为，设，利用导数研究出的单调性，可根据的取值分类讨论求只有时，可得有最小值，由最小值 ，把这个式子作为的函数，由导函数得其最大值为，且，从而可得（一方面，另一方面，因此只有），，再研究在时， 是否恒成立即可．

试题解析：

（Ⅰ），令得.

当且时， ；当时， .

所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ）注意到，则， ①.

于是， 即，记， ，

若，则，得在上单调递减，则当时，有，不合题意；

若，易知在上单调递减，在上单调递增，

得在上的最小值.

记，则，得有最大值，即，

又，故，代入①得.

当时， 即 .

记，则，得在上有最小值，即，符合题意.

综上，存在，使对任意恒成立.