Question

【题目】如下图，在空间直角坐标系中，正四面体（各条棱均相等的三棱锥）的顶点分别在轴， 轴， 轴上.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设，写出A，B，C的坐标，再求出D点坐标，从而得的坐标，只要它与平面的法向量垂直，即可证明线面平行；

（Ⅱ）求二面角，可取AB的中点F，由能证明∠CFD是所求二面角的平面角，在中由得余弦定理可得余弦值．也可求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角的余弦可得二面角的余弦．

试题解析：

（Ⅰ）由，易知.

设，则， ， ， ,

设点的坐标为，则由，

可得 ，

解得，

所以.

又平面的一个法向量为，

所以，所以平面.

（Ⅱ）设为的中点，连接，

则， ， 为二面角的平面角.

由（Ⅰ）知，在中， ， ，

则由余弦定理知，即二面角的余弦值为.