Question

【题目】若直线与曲线满足下列两个条件：（）直线在点处与曲线相切； （）曲线在点附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线．下列命题正确的是__________．（写出所有正确命题的编号）

①直线在点处“切过”曲线；

②直线在点处“切过”曲线；

③直线在点处“切过”曲线；

④直线在点处“切过”曲线．

Answer 1

【答案】①③

【解析】①∵， ，

∴，

∴曲线在点处切线为，

当时， ，

当时， ，

即曲线在点附近位于直线的两侧，①正确；

②设，

，

当时， ， 在是减函数，

当时， ， 在是增函数，

∴，

即在上恒成立，

∴曲线总在直线下方，不合要求，②不正确；

③∵， ，

∴，

∴曲线在点处切线为，

设， ，

∴是减函数，

又∵，

∴当时， ，即，

曲线在切线的下方，

当， ，即，

曲线在切线的上方，③正确；

④设， ，

当时， ，

当时， ，函数在区间上是减函数，

当时， ，函数在区间上是增函数，

∴，

即在上是恒成立，

∴总在直线上方，不合要求，④不正确．

综上，正确命题有①③．