Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x．
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=3x2﹣3，f'（2）=9，f（2）=23﹣3×2=2

∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0

（2）解：过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0）

则y0=x03﹣3x0，k=f'（x0）=3x02﹣3．

则切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0）

将A（1，m）代入上式，整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线

∴方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根、

记g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1）、

令g'（x）=0，x=0或1

则x，g'（x），g（x）的变化情况如下表

x	（﹣∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	﹣	0	+
g（x）	递增	极大	递减	极小	递增

当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2

由题意有，当且仅当 即 时，

函数g（x）有三个不同零点、

此时过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线．故m的范围是（﹣3，﹣2）

【解析】（1）先求导数f'（x）=3x2﹣3，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（2）先将过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线转化为：方程2x3﹣3x2+m+3=0（*）有三个不同实数根，记g（x）=2x3﹣3x2+m+3，g'（x）=6x2﹣6x=6x（x﹣1），下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得m的范围．