Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 满足Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N* ， 且S3=15．
（1）求a1 ， a2 ， a3的值；
（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，n∈N*，得：

S2=4a3﹣20 ①

又S3=S2+a3=15 ②

联立①②解得：a3=7．

再在Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n中取n=1，得：

a1=2a2﹣7 ③

又S3=a1+a2+7=15 ④

联立③④得：a2=5，a1=3．

∴a1，a2，a3的值分别为3，5，7

（2）

解：∵a1=3=2×1+1，a2=5=2×2+1，a3=7=2×3+1．

由此猜测an=2n+1．

下面由数学归纳法证明：

①当n=1时，a1=3=2×1+1成立．

②假设n=k时结论成立，即ak=2k+1．

那么，当n=k+1时，

由Sn=2nan+1﹣3n2﹣4n，得 ，

，

两式作差得： ．

∴

= =2（k+1）+1．

综上，当n=k+1时结论成立．

∴an=2n+1．

【解析】（1）在数列递推式中取n=2得一关系式，再把S3变为S2+a3得另一关系式，联立可求a3 ， 然后把递推式中n取1，再结合S3=15联立方程组求得a1 ， a2；（2）由（1）中求得的a1 ， a2 ， a3的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．