Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式
（2）是否存在常数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别是[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m，n的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设，方程f （x）=x有等根，即ax2+（b﹣1）x=0有等根，

∴△=0b=1．

又f （2）=0，

∴4a+2b=0，∴a=﹣ ．

故f （x）=﹣ x2+x．

（2）解：∵f （x）=﹣ x2+x=﹣ （x﹣1）2+ ≤ ，

∴2n≤ ，即 n≤ ．

而当n≤ 时，f （x）在[m，n]上为增函数，

设满足条件的m，n存在，则 即 ，

又m＜n≤ ，由上可解得 m=﹣2，n=0．

即符合条件的m，n存在，其值为m=﹣2，n=0

【解析】（1）利用条件f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，建立方程组，求f（x）的解析式（2）利用二次函数的单调性和值域之间的关系建立，方程关系．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的性质(当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减)，还要掌握二次函数在闭区间上的最值(当时，当时，；当时在上递减，当时，)的相关知识才是答题的关键．