Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB＝BC＝1，BB1＝2，∠BCC1＝60°。

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）设（0≤λ≤1），且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理可得的边长．由勾股定理可得,由面面垂直的性质定理可证得面．（Ⅱ）以为原点建立空间直角坐标系,可得各点坐标,根据向量共线可用表示出点坐标,从而可得各向量坐标．根据向量垂直数量积为0可得面与面的法向量．两法向量夹角余弦值的绝对值等于．从而可求得的值．

试题解析：（Ⅰ）证明：因为平面, 平面，所以。在中， ，由余弦定理得：

， 所以，

故, 所以,

又，∴平面。

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知， 两两垂直．以为原点， 所在直线为轴建立空间直角坐标系．

则， 。

所以, 所以， ∴,

则， 。

设平面的一个法向量为，

则， 得，

令，则，∴,∵平面， 是平面的一个法向量，

∴．

两边平方并化简得，所以或（舍去）。