Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4， ，AB=2CD=8．

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；

（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

（1）计算得 ，又平面 平面平面 平面 平面；（2）当 点位于线段靠近 点的三等分点处时， 平面 ．先证四边形 是梯形．再证 平面．

试题解析：（1）在△ABD中，

∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．

∴AD⊥BD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

∴BD⊥平面PAD．又BD平面MBD，

∴平面MBD⊥平面PAD．

（2）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．

证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．

∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．

∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．

又∵CM：MP=1：2，

∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．

∵MN平面MBD，∴PA∥平面MBD．