Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论方程根的个数.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，方程有一个根，当时，方程有三个根.

【解析】

试题分析：（1）时，函数表达式已知，先求出切点的坐标，利用导数求得斜率，用点斜式写出切线方程；（2）方程即，的定义域为.当时，易知，故方程无解，故只需考虑的情况.此时构造函数，利用导数分类讨论的零点个数.

试题解析：

(1)当时，又

故所求切线方程为；

(2) 方程即，的定义域为

当时，易知，故方程无解，故只需考虑的情况

设，令得，又

当时，所以在区间上是增函数，又，只有一个根0

当时，由得

又，所以在和递增，在递减

，在递减

又在递增，在有一个根

在递减

在有一个根0

，又在递增

在有一个根

综上所述，当时方程有一个根，当时方程有三个根.