Question

【题目】选修4-4；坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线．

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．

（Ⅱ）求曲线上的点到直线的距离的最大值．

Answer 1

【答案】（1）， （2）

【解析】试题分析： (Ⅰ) 消去得直线的普通方程为. 由极坐标与直角坐标互化公式 ，可得曲线的直角坐标方程为, 即.

(Ⅱ) 设曲线上的点为,

则点到直线的距离为 当时, , 可得曲线上的点到直线的距离的最大值为.

试题解析：

(Ⅰ) 由 消去得,

所以直线的普通方程为.

由,

得.

将代入上式,

得曲线的直角坐标方程为, 即.

(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为,

则点到直线的距离为

当时, ,

所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.

法2: 设与直线平行的直线为,

当直线与圆相切时, 得,

解得或 (舍去),

所以直线的方程为.

所以直线与直线的距离为.

所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.