Question

【题目】已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=ax﹣1（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（2）+f（﹣2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）解关于x的不等式f（x）＜4，结果用集合或区间表示．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0
（2）解：设x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=a﹣x﹣1．

由f（x）是奇函数，有f（﹣x）=﹣f（x），∵f（﹣x）=a﹣x﹣1，

∴f（x）=﹣a﹣x+1（x＜0），∴所求的解析式为

（3）解：不等式等价于 ，

即 ，即 ．

当a＞1时，有 ，∵loga5＞0，所以不等式的解集为（﹣∞，loga5）；

当0＜a＜1时，有 ，∵loga5＜0，所以不等式的解集为（﹣∞，0）．

综上所述，当a＞1时，不等式的解集为（﹣∞，loga5）；

当0＜a＜1时，不等式的解集为（﹣∞，0）

【解析】（1）根据题意可得f（﹣2）=﹣f（2），即f（2）+f（﹣2）=0．（2）设x＜0，则﹣x＞0，根据f（﹣x）=a﹣x﹣1=﹣f（x），求得f（x）的解析式．（3）分类讨论a的范围，利用函数的单调性求得不等式f（x）＜4的解集．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数奇偶性的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．