Question

【题目】已知椭圆： ，圆： 的圆心在椭圆上，点到椭圆的右焦点的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作互相垂直的两条直线，且交椭圆于两点，直线交圆于， 两点，且为的中点，求面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，只需列出两个独立条件，解方程组即可：一是圆心在椭圆上，即，二是根据两点间距离公式得，解得， ，（2）设直线： ，直线的方程为，根据几何条件得,所以△的面积等于,先根据点到直线距离公式得，再联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式得,即，最后根据分式函数值域求法得范围

试题解析：（1）圆： 的圆心为，

代入椭圆方程可得，

由点到椭圆的右焦点的距离为，即有，

解得，即，

解得， ，

即有椭圆方程为．

（2）依题意知直线斜率必存在，当斜率为0时，直线： ，

代入圆的方程可得，可得的坐标为，又，

可得的面积为；

当直线斜率不为0时设直线： ，代入圆的方程可得

，

可得中点，

，

此时直线的方程为，代入椭圆方程，可得：

，

设， ，可得， ，

则，

可得的面积为，

设（），可得，

可得，且，

综上可得，△的面积的取值范围是．