Question

【题目】已知圆： ，直线过定点.

（Ⅰ）若与圆相切，求的方程；

（Ⅱ）若与圆相交于、两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.（其中点是圆的圆心）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x=1或3x-4y=3；（Ⅱ） 最大为2.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）分类讨论：

直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切，

直线有斜率时，结合圆心到直线的距离等于半径得到关于k的方程，解方程可得，则直线方程为，

综上可得直线方程为x=1或3x-4y=3.

（Ⅱ）结合三角形面积公式可知，当，面积有最大值，

由几何关系可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式可知直线的斜率或1，则直线方程为： .

试题解析：

（Ⅰ）直线无斜率时，直线的方程为，此时直线和圆相切，

直线有斜率时，设方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得： ，直线方程为，

故所求直线方程为x=1或3x-4y=3.

（Ⅱ）面积最大时， ， ，

即是等腰直角三角形，由半径得：圆心到直线的距离为，

设直线的方程为： 或1，

直线方程为： .