【题目】已知椭圆： 的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. 、是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当四边形面积取最大值时，求的值.

参考答案：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） =2.

【解析】试题分析：（1）利用离心率和直线与圆相切以及的关系进行求解；（2）设，联立直线与椭圆方程，得到的横坐标，求出点到直线的距离，得到四边形面积关于的表达式，再利用基本不等式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）由题意知： ＝ ， ．

又圆与直线相切， ， ，

故所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，其中，

将代入椭圆的方程整理得： ，

故．①

又点到直线的距离分别为，

，

所以四边形的面积为

，

当，即当时，上式取等号，所以当四边形面积的最大值时， ．

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