Question

【题目】已知等比数列{an}满足an+1+an=104n﹣1（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn ， 且bn=log2an ．
（1）求bn ， Sn；
（2）设cn= ，证明： + +…+ ＜ Sn+1（n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，

由an+1+an=104n﹣1（n∈N*），可得a1（1+q）qn﹣1=104n﹣1，

即有q=4，a1（1+q）=10，解得a1=2，

则an=24n﹣1=22n﹣1，bn=log2an=log222n﹣1=2n﹣1，

Sn= （1+2n﹣1）n=n2；

（2）证明：cn= =n，

不等式 + +…+ ＜ Sn+1，

即为 + +…+ ＜ （n+1）2．

运用数学归纳法证明．

当n=1时，左边= ，右边= ×4=2，不等式成立；

假设n=k时，不等式 + +…+ ＜ （k+1）2．

当n=k+1时， + +…+ +

＜ （k+1）2+ ，

要证 （k+1）2+ ＜ （k+2）2．

即证 ＜ （k+2）2﹣ （k+1）2= （2k+3），

平方可得k2+3k+2＜k2+3k+ ，即有2＜ 成立．

可得n=k+1时，不等式也成立．

综上可得， + +…+ ＜ Sn+1（n∈N*）

【解析】（1）设等比数列{an}的公比为q，运用等比数列的通项公式，可得首项为2，公比为4，可得an=22n﹣1 ， 由对数的运算性质可得bn=2n﹣1，运用等差数列的求和公式即可得到Sn；（2）求得cn= =n，原不等式即为 + +…+ ＜ （n+1）2 ． 运用数学归纳法证明．结合分析法，注意运用假设，化简整理，即可得证．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．