Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB

（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵，∠DAC=∠AOB

∴AD∥OB，

∵E是PC的中点，O是AC的中点，

∴OE是△PAC的中位线，

∴OE∥PA，

∵PA∩AD=A，

平面OBE∥平面PAD，

∵BE平面PAD，BE平面PAD，

∴BE∥平面PAD

（2）解：∵AC是圆O的一条直径，∴AC⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，

则CD⊥平面PAD，

则CD⊥PD，

则∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，

若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，

则tan∠PDA= =2，

即AD=1，

建立以D为坐标原点，DA，DC，垂直于平面ABCD的直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：

则B（ ， ，0），P（1，0，2）， =（- ，﹣ ，2）

D（0，0，0），C（0， ，0），

则 =（0， ，0）， =（1，0，2），

设平面PCD的法向量为 =（x，y，z），

则 ，即 ，令z=1，则x=﹣2，y=0，

即 =（﹣2，0，1），

则直线PB与平面PCD所成角的正弦值sin＜ ， ＞=|cos＜ ， ＞|=| |=

【解析】（1）根据面面平行的性质定理证明平面OBE∥平面PAD，即可证明BE∥平面PAD；（2）建立空间坐标系，根据二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，得到AD=1，然后求出平面的法向量，利用直线和平面所成角的定义即可求直线PB与平面PCD所成角的正弦值
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．