Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（2）设g（x）=﹣ ，若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣alnx，（x＞0），

f′（x）=1﹣ = ，

①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，f（x）无极值；

②a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

f（x）有1个极小值点；

（2）解：若不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立，

令h（x）=f（x）﹣g（x），即h（x）最小值＞0在[1，e]恒成立，

则h（x）=x﹣alnx+ （a∈R），

∴h′（x）=1﹣ ﹣ = ，

①当1+a≤0，即a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得：a＞﹣2，即﹣2＜a≤﹣1，

当a＞﹣1时

①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，

∴f（x）min=f（e）=e+ ﹣a＞0，解得a＜ ，

∵ ＞e﹣1，

∴e﹣1≤a＜ ；

②当0＜1+a≤1，即﹣1＜a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（1）=1+1+a＞0，

解得a＞﹣2，故﹣2＜a＜﹣1；

③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min=f（1+a），

∵0＜ln（1+a）＜1，

∴0＜aln（1+a）＜a，

∴f（1+a）=a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）＞0成立，

综上，﹣2＜a＜ 时，不等式f（x）＞g（x）对任意x∈[1，e]恒成立

【解析】（1）先求导，再分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值点的个数；（2）由题意，只要求出函数f（x）min＞0即可，利用导数和函数的最值的关系，进行分类讨论，即可得到a的范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)，还要掌握函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)的相关知识才是答题的关键．