Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，DC∥AB，PA=1，AB=2，PD=BC= ．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）试在棱PB上确定一点E，使截面AEC把该几何体分成的两部分PDCEA与EACB的体积比为2：1；
（3）在（2）的条件下，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD⊥AB，DC∥AB，∴DC⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴DC⊥PA，

∵AD∩PA=A，∴DC⊥平面PAD，

∵DC平面PCD，

∴平面PAD⊥平面PCD

（2）解：作EF⊥AB于F点，

在△ABP中，PA⊥AB，∴EF∥PA，

∴EF⊥平面ABCD，

设EF=h，AD= =1， ，

则 ，

= = ，

由VPDCEA：VEACB=2：1，得（ ）： =2：1，解得h= ，

EF= PA，故E为PB的中点

（3）解：连结FC，FD，FD与AC交于点O，连结OE，

由（2）知EF⊥平面ABCD，∴EF⊥AC，

∵ADCF为正方形，∴FO⊥AC，

∵FO∩EF=F，

∴AC⊥平面EFO，∴EO⊥AC，

∴∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角，

∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，

∴二面角E﹣ACB与二面角E﹣AC﹣P互余，

设二面角E﹣AC﹣P的平面角为θ，

则cosθ=sin∠EOF，

在Rt△EOF中，EF= ，FO= ，EO= ，

cosθ=sin ，

∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值为

【解析】（1）推导出DC⊥AD，DC⊥PA，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．（2）作EF⊥AB于F点，则EF⊥平面ABCD，设EF=h，由VPDCEA：VEACB=2：1，解得h= ，从而得到E为PB的中点．（3）连结FC，FD，FD与AC交于点O，连结OE，推导出EF⊥AC，FO⊥AC，EO⊥AC，从而∠EOF是二面角E﹣AC﹣B的平面角，由二面角E﹣ACB与二面角E﹣AC﹣P互余，能求出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．