Question

【题目】已知函数f（x）= cosx（sinx+cosx）． （Ⅰ）若0＜α＜ ，且sinα= ，求f（α）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵0＜α＜ ，且sinα= ， ∴cosα= ，
∴f（α）= cosα（sinα+cosα）
= × ×（ + ）
= ；
（Ⅱ）函数f（x）= cosx（sinx+cosx）
= （cosxsinx+cos2x）
= sin2x+ cos2x+
=sin（2x+ ）+ ，
∴f（x）的最小正周期为π；
令﹣ +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ，k∈Z，
解得﹣ +kπ≤x≤ +kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间为[﹣ +kπ， +kπ]，k∈Z
【解析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系，求出sinα、cosα的值，再计算f（α）的值；（Ⅱ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期和单调减区间．