Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）= （a∈R）是奇函数，函数g（x）= 的定义域为（﹣1，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）= 在（﹣1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

∴ 得a=0

（2）解：∵ 在（﹣1，+∞）上递减，

∴任给实数x1，x2，当﹣1＜x1＜x2时，g（x1）＞g（x2），

∴ ，

∴m＜0

（3）解：由（1）得 ，

令h（x）=0，即 ，

化简得x（mx2+x+m+1）=0，

∴x=0或 mx2+x+m+1=0，

若0是方程mx2+x+m+1=0的根，则m=﹣1，

此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为1，不符合题意，

∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，

等价于方程mx2+x+m+1=0（※）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根，

①当△=12﹣4m（m+1）=0时，得 ，

若 ，则方程（※）的根为 ，符合题意；

若 ，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意，

∴ ，

②当△＞0时，令h（x）=mx2+x+m+1，

由 ，得﹣1＜m＜0，

综上所述，所求实数m的取值范围是

【解析】（1）根据函数的奇偶性，求出a的值即可；（2）根据单调性的定义判断m的范围即可；（3）根据根域系数的关系，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质和函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．