Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，，，点在线段上.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）若是中点，证明平面；

（Ⅲ）当时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：以 为原点建立空间直角坐标系 ，（Ⅰ）分别求出向量的坐标根据可得结果；（Ⅱ）求出平面 的法向量，利用向量法能证明 平面 ；（Ⅲ）求出平面 的法向量和平面 的法向量，利用空间向量法夹角余弦公式能求出二面角 的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系.则，，，，.

，，

，所以.

（Ⅱ）解法一：

设平面的法向量，

由，

且，

令得，

所以，

又平面，所以平面；

解法二：证明：连接，交于，.

因为直三棱柱，是中点，

所以侧面为矩形，为的中位线.

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

设，

因为点在线段上，且，即.

所以，，.

所以，.

平面的法向量为.

设平面的法向量为，

由，，得，

所以，，.

设二面角的大小为，

所以.

所以二面角的余弦值为.