Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）在y轴上，是否存在定点E，使 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：

（2）解：

所以k的取值范围是：

（3）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=﹣

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4

=﹣ ，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）

=k（x1+x2）+4

=

设存在点E（0，m），则 ，

所以

=

=

要使得 =t（t为常数），

只要 =t，

从而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即

由（1）得 t=m2﹣1，

代入（2）解得m= ，从而t= ，

故存在定点 ，使 恒为定值

【解析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）